在建筑设计、摄影、天文学等领域，理解垂直阴影的形成和计算是非常重要的。本文将深入探讨垂直阴影的形成原理，并详细介绍如何计算垂直阴影的角度。

垂直阴影的形成原理

垂直阴影是由于光源照射到物体上，物体阻挡了一部分光线，从而在物体背后形成的阴影。在日常生活中，我们常见的太阳光就是产生垂直阴影的主要光源。

光源与角度

垂直阴影的形成与光源的角度密切相关。当光源（如太阳）以垂直角度照射到物体上时，物体产生的阴影是最短的。随着光源角度的增大，阴影的长度也会随之增加。

地球自转与太阳高度角

地球自转是导致太阳高度角变化的主要原因。太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角。在一天中，太阳高度角会从0度（日出）逐渐增加到最大值（正午），然后再逐渐减少到0度（日落）。

垂直阴影角度的计算

计算垂直阴影的角度需要考虑以下几个因素：

1. 光源高度角

光源高度角是指光源（如太阳）与地平面的夹角。在北半球，太阳高度角可以通过以下公式计算：

# 定义太阳高度角的计算公式
def calculate_solar_elevation_angle(day_of_year, latitude, time_of_day):
    # 计算太阳赤纬角
    declination = 23.45 * math.sin(math.radians(360 * (284 + day_of_year) / 365))
    # 计算时角
    time_angle = (time_of_day - 12) * 15
    # 计算太阳高度角
    solar_elevation_angle = math.degrees(math.asin(math.sin(math.radians(latitude)) * math.sin(math.radians(declination)) + math.cos(math.radians(latitude)) * math.cos(math.radians(declination)) * math.cos(math.radians(time_angle))))
    return solar_elevation_angle

2. 物体高度

物体高度是指物体顶部与地面的垂直距离。物体高度与光源高度角共同决定了阴影的长度。

3. 阴影长度

阴影长度是指物体背后阴影的长度。根据物体高度和光源高度角，可以通过以下公式计算阴影长度：

# 定义阴影长度的计算公式
def calculate_shadow_length(object_height, solar_elevation_angle):
    # 计算阴影长度
    shadow_length = object_height / math.cos(math.radians(solar_elevation_angle))
    return shadow_length

4. 阴影角度

阴影角度是指阴影与地面的夹角。根据阴影长度和物体高度，可以通过以下公式计算阴影角度：

# 定义阴影角度的计算公式
def calculate_shadow_angle(shadow_length, object_height):
    # 计算阴影角度
    shadow_angle = math.degrees(math.atan(shadow_length / object_height))
    return shadow_angle

实例分析

假设在一个北纬30度的地区，太阳在正午时分的高度角为60度，一个物体的高度为5米。我们可以通过以下代码计算该物体在正午时的垂直阴影角度：

import math

# 定义计算太阳高度角的函数
def calculate_solar_elevation_angle(day_of_year, latitude, time_of_day):
    # ...（此处省略计算公式）

# 定义计算阴影长度的函数
def calculate_shadow_length(object_height, solar_elevation_angle):
    # ...（此处省略计算公式）

# 定义计算阴影角度的函数
def calculate_shadow_angle(shadow_length, object_height):
    # ...（此处省略计算公式）

# 输入参数
day_of_year = 172  # 6月21日
latitude = 30
time_of_day = 12
object_height = 5

# 计算太阳高度角
solar_elevation_angle = calculate_solar_elevation_angle(day_of_year, latitude, time_of_day)

# 计算阴影长度
shadow_length = calculate_shadow_length(object_height, solar_elevation_angle)

# 计算阴影角度
shadow_angle = calculate_shadow_angle(shadow_length, object_height)

# 输出结果
print("在正午时分，物体的高度为5米，太阳高度角为60度时，垂直阴影角度为：", shadow_angle)

通过以上代码，我们可以得到该物体在正午时的垂直阴影角度为大约30度。